【Python】NumPyで行列をQR分解する方法（np.linalg.qrの使い方）

2026年1月3日

行列計算において、ある行列を「直交行列（Q）」と「上三角行列（R）」の積に分解することをQR分解と呼びます。これは最小二乗法を解く際や、固有値計算の前処理などで広く利用される重要な手法です。

NumPyでは np.linalg.qr() 関数を使うだけで簡単に計算できます。

実行可能なサンプルコード

ここでは、3行2列の行列を定義し、それをQとRに分解します。また、分解した結果を掛け合わせることで、元の行列に戻る（復元できる）ことも確認します。

import numpy as np

def qr_decomposition_demo():
    # 1. 分解したい行列の定義
    # ここでは 3行2列 の行列を用意します
    matrix_a = np.array([
        [12, -51],
        [6, 167],
        [-4, 24]
    ])

    print("--- Original Matrix A ---")
    print(matrix_a)

    # 2. QR分解の実行
    # q: 直交行列 (Orthonormal matrix)
    # r: 上三角行列 (Upper triangular matrix)
    q, r = np.linalg.qr(matrix_a)

    print("\n--- Matrix Q (直交行列) ---")
    print(q)

    print("\n--- Matrix R (上三角行列) ---")
    print(r)

    # 3. 検算 (Verification)
    # Q と R を行列積 (dot) で掛け合わせると、元の A に戻るはずです
    reconstructed_a = np.dot(q, r)
    
    print("\n--- Reconstructed A (Q @ R) ---")
    # 浮動小数点の誤差が出る場合があるため、見やすく丸めて表示する場合もあります
    print(reconstructed_a)

    # おまけ: Qの直交性の確認
    # 直交行列Qは、転置との積が単位行列になります (Q.T @ Q = I)
    print("\n--- Orthogonality Check (Q.T @ Q) ---")
    print(np.dot(q.T, q))

if __name__ == "__main__":
    qr_decomposition_demo()